Здравствуйте Вячеслав
В данной ситуации дети матери имеют право претендовать на квартиру, поскольку произошло наследование.
Разберем ситуацию пошагово:
1. Квартира была завещана сожителю, который является наследником по завещанию
2. Сожитель умер, не успев принять наследство
3. Родственники сожителя отказались от наследства
4. В данном случае действует (в вашем случае — детям матери)
правило: если наследник по завещанию умер и не успел принять наследство, право наследования переходит к наследникам наследодателя
Дети матери как наследники по закону меют право вступить в наследство по праву представления, получить квартиру в порядке наследования, оьратиться к нотариусу с заявлением о принятии наследства.
У вас есть 6 месяцев с момента смерти матери для принятия наследства
Необходимо обратиться к нотариусу по месту открытия наследства
При отказе других потенциальных наследников (родственников сожителя) ваши права на наследство укрепляются
См
ГК РФ Статья 1156