Здравствуйте, Алёна!
Во-первых, на сегодняшний день в отношении релевантных для Вас услуг "организация досуга, предоставление услуг игровых залов, услуги развлекательные" 41 класса МКТУ и услуги "присмотр за детьми" 45 класса МКТУ действует правовая охрана словесного знака обслуживания "Легоза" по свидетельству РФ № 699684.
Между тем, срок действия исключительного права на комбинированный знак обслуживания "ЕГОЗА" по свидетельству РФ № 410094 уже истёк (18.08.2018), а заявка № 2021726201 на комбинированный знак обслуживания "EGOZA" и заявка № 2016738627 на словесный знак обслуживания "ЕГОЗА" признаны отозванными.
Во-вторых, словесное обозначение "eGOza" может считаться сходным до степени смешения со словесным знаком обслуживания "Легоза" по свидетельству РФ № 699684, поскольку оно ассоциируется с ним в целом, несмотря на их отдельные отличия, а индивидуализируемые услуги являются идентичными или в определённой степени однородными, что может привести к предположению об их возможной принадлежности одному правообладателю.
Однако согласно п. 3 ст 1484 ГК РФ "никто не вправе использовать без разрешения правообладателя сходные с его товарным знаком обозначения в отношении товаров, для индивидуализации которых товарный знак зарегистрирован, или однородных товаров, если в результате такого использования возникнет вероятность смешения".
Тем не менее, можно попытаться ослабить сходство, например, выполнив Ваше обозначение в оригинальной графической манере.
Если мой ответ как-либо Вам помог, можете отблагодарить.
С уважением,
юрист по интеллектуальной собственности
Евгений Геращенко