Возникнут ли у меня проблемы на границе, если я полечу по старым документам?

На самом деле, не совсем так.

В силу ст. 8.1 ФЗ О порядке выезда из Российской Федерации и въезда в Российскую Федерацию:

Основаниями недействительности паспорта, дипломатического паспорта или служебного паспорта являются:
2) изменение владельцем паспорта, дипломатического паспорта или служебного паспорта в установленном порядке фамилии, имени, отчества, сведений о дате (числе, месяце, годе) и (или) месте рождения, изменение пола;
Паспорт, дипломатический паспорт, служебный паспорт являются недействительными:
2) по основанию, предусмотренному подпунктом 2 части первой настоящей статьи, по истечении шести месяцев после дня наступления соответствующих обстоятельств;

То есть Ваш паспорт действителен в течение 6 месяцев после соответствующего события.

То есть Вы спокойно можете выезжать и возвращаться по действующему паспорту.