Какой именно суд этим занимается?

Здравствуйте! Лучше для начало подать в суд об определении места жительства ребенка с вами и потом подать на алименты.

Здравствуйте.

Освобождение от уплаты алиментов на ребенка возможно в случае, если при исполнении судебного приказа или решения суда о взыскании алиментов ребенок, на которого они были присуждены, перешел на воспитание и содержание к родителю — плательщику алиментов, а взыскатель не отказался от их получения. При этом освобождение от уплаты алиментов, а также от задолженности по алиментам производится путем предъявления родителем соответствующего иска (п. 36 Постановления Пленума Верховного Суда РФ N 56).

Таким образом, Вам необходимо составить исковое заявление об освобождении от уплаты алиментов в связи с переходом ребенка на воспитание и содержание к родителю, выплачивающему на него алименты. В просительной сати иска Вы можете указать: 

освободить Истца от уплаты алиментов в связи с переходом ребенка __________________________ (Ф.И.О., дата рождения) на воспитание и содержание к Истцу.

Могу ли я в данный момент подать на алименты? Снимут ли это с меня алименты и заставит её выплачивать?

Таким образом, ответы на Ваши вопросы — да, можете и да, снимут.

Какой именно суд этим занимается?

Иски лиц, с которых взыскиваются алименты на несовершеннолетних детей  (например, об изменении установленного судом размера алиментов или об освобождении от уплаты алиментов, об освобождении от уплаты задолженности по алиментам), в соответствии со статьей 28 ГПК РФ подсудны суду по месту жительства ответчика (взыскателя).

Если заявите одновременно требование о взыскании алиментов, то будет действовать правило альтернативной подсудности (то есть можете обратиться в суд по месту жительство ответчика, либо Вашему месту жительства).

Если появятся дополнительные вопросы или потребуется помощь в составлении процессуальных документов — обращайтесь ко мне в чат.