Моя бабушка завещала квартиру только мне, может ли её дочь (моя мать) отсудить часть квартиры?

Иван, добрый день.

В данном случае наследником у квартиры будете являться вы и просто так мать не может отсудить часть квартиры. 

Такое будет возможно если она решит попробовать признать завещание недействительным, чтобы квартира передавалась в общем порядке. Но, оспорить завещание на практики не такая легкая задача, поэтому шансов достаточно мало.

Вам главное вовремя принять и оформить права на квартиру.

С уважением, юрист напольских Татьяна. Рада быть полезной.

Спасибо, что поставили оценку моему ответу) если нужна консультация, то пишите в чат. Оперативно отвечу на вопрос, разберемся в проблеме и составим план действий.

Здравствуйте Иван 

В данном случае нужно руководствоваться ст 1149 гк рф 

https://www.consultant.ru/document/cons_doc_LAW_34154/4a7a16c8ebee9064e938c398cc579bb5fcbd661f/

Правила о наследовании нетрудоспособными лицами, установленные п. 1 ст. 1149, применяются также к лицам предпенсионного возраста — женщинам, достигшим 55 лет, и мужчинам, достигшим 60 лет.

Таким образом нужно смотреть подходит ли ваша мать по критериям и имеется ли спор. 

а так же есть ли другое имущество. и т.д 

Иван надеюсь смог вам помочь 

С уважением Давидьянц А.Г.