Скажите, пожалуйста, если ребёнку исполнилось 18 лет, а отец является должником по алиментам, снимут ли отцу арест с водительского удостоверения?

Не снимут. Я бы на Вашем месте еще сделал индексацию алиментов, существенно увеличив таким образом сумму. Это будет полезно ребенку и в будущем — отце не сможет воспользоваться в свою очередь алиментами к ребенку, при наличии, к примеру, инвалидности.