Как оспорить отказ в установлении опеки из-за погашенной судимости?

Большое. Отказ органов опеки будет являться правомерным, так как наличие судимости, даже погашенной, по определенным категориям преступлений, является препятствием к получению статуса опекуна, о чем свидетельствуют положения ч. 1 ст. 146 СК РФ. 

лица, имеющие или имевшие судимость, подвергающиеся или подвергавшиеся уголовному преследованию (за исключением лиц, уголовное преследование в отношении которых прекращено по реабилитирующим основаниям) за преступления против жизни и здоровья, свободы, чести и достоинства личности (за исключением незаконного помещения в психиатрический стационар, клеветы и оскорбления), половой неприкосновенности и половой свободы личности, против семьи и несовершеннолетних, здоровья населения и общественной нравственности, а также против общественной безопасности, мира и безопасности человечества;