Так как заказано мнение трех юристов, то я отвечу.
Может ли отец после развода продать квартиру?
Так как имеется брачный договор, по которому квартира принадлежит супругу, то ни жена ни тем более ребенок к этой квартире отношения не имеют, так же как не имеют отношения и к деньгам, которые выручит за квартиру супруг (ст. 209 ГК РФ, ст. 42, 60 СК РФ).
У него есть полное право продать эту квартиру.
Если жена не согласна с брачным договором, то у нее есть право обратиться в суд и признавать его недействительным либо по правилам ГК РФ для признания сделок недействительными, либо по правилам ч. 2. ст. 44 СК РФ
Суд может также признать брачный договор недействительным полностью или частично по требованию одного из супругов, если условия договора ставят этого супруга в крайне неблагоприятное положение.
После развода отец вступил в брак и выплатил несколько взносов по ипотеке уже в новом браке, имеет ли какие либо права на квартиру его нынешняя жена?
Новая жена к квартире отношения не имеет. НО у нее есть право взыскать с мужа половину выплаченных ими средств на погашение ипотеки в браке (ст. 1102 ГК РФ, ст. 34 СК РФ), т.к. выплаченные в браке платежи считаются оплаченными из совместно нажитых средств.
Если это были средства добрачные, то мужу нужно будет доказывать, что он вносил деньги не семейные, а личные, полученные им до брака