Уважаемый Андрей!
Согласно имеющейся практике вы сможете как покинуть территорию РФ, так и въехать в страны шенгенской зоны, предъявляя новый действующий паспорт и действующие визы в старом паспорте. Для этого потребуется сохранить старый найденный паспорт при выдаче нового.
Подробно:
Согласно ст. 11 ФЗ от 15 августа 1996 г. N 114-ФЗ «О порядке выезда и въезда в Российскую Федерацию»
Не допускается, за исключением случаев, указанных в части третьей настоящей статьи:
1) оформление нового паспорта без объявления ранее выданного паспорта недействительным в случае, если он утрачен владельцем;
2) выдача нового паспорта без изъятия ранее выданного паспорта, если срок его действия не истек.
То есть старый паспорт является недействительным при утрате или изымается если срок его действия не истек.
Согласно п. 111 Административного регламента предоставления ФМС государственной услуги по оформлению и выдаче загранпаспортов (Приказ ФМС от 15 октября 2012 г. N 320):
Если гражданин, заявивший об утрате (похищении) паспорта, в ходе производства по делу об утрате обнаружит его, то найденный паспорт подлежит сдаче, а заявителю выдается новый паспорт в порядке, установленном Административным регламентом.
Но согласно п. 110 регламента
По желанию заявителя паспорт (паспорт нового поколения) разрешается оставлять у владельца. При этом на странице, где проставляется подпись владельца паспорта, вырезается номер паспорта и проставляется штамп «Аннулировано».Вырезанный номер наклеивается в пункт 10 на второй экземпляр заявления (приложение N 1, N 3 к Административному регламенту), с одновременным внесением записи о выдаче заявителю нового паспорта с указанием даты выдачи
Таким образом, при получении нового паспорта, вы напишете заявление об оставлении у вас старого паспорта с визами. В нем будет вырезан номер, поставлен штамп об аннулировании, но визы сохранятся.
Что касается виз, то формально вы должны аннулировать визы, выданные по старому паспорту, и получить их заново. Но на практике повсеместно распространен другой вариант.
Гражданин, пересекающий границу, предъявляет старый недействующий паспорт с действующими визами и действующий паспорт.
Большинство стран шенгенской зоны допускают въезд по недействующему паспорту с действующими визами. Подробнее здесь: http://www.travel.ru/formalities/visa/visa_passport.html
«Потом могу ли ездить с двумя»
Ездить-то Вы можете, но Вас могут привлечь к ответственности за использование недействительного паспорта, поскольку старый паспорт будет недействительным.