Если Ваш муж вступил в наследство, он должен был получить свидетельство о праве на наследство.
Даже если он свое право на квартиру в ЕГРН не регистрировал, он считается ее сособственником в размере 1/3 доли на основании полученного свидетельства о праве на наследство.
В соответствии с п. 1 ст. 1114, ст. 1152 ГК РФ имущество считается принадлежащим наследнику со дня открытия наследства, то есть со дня смерти наследодателя. Эта дата не зависит от времени фактического принятия наследства и от момента государственной регистрации прав наследника в случая, когда такое право подлежит гос.регистрации.
Таким образом, Ваш супруг как сособственник квартиры, также наравне с остальными сособственниками в соответствии со ст. 30 ЖК РФ несет ответственность за неоплату ком.платежей и иных обязательных платежей по квартире.
Остальные сособственники в случае полной оплаты обязательных платежей имеют право взыскать часть таких платежей с сособственника, не выполняющего данной обязанности, в размере, пропорциональной его доле в праве собственности, как неосновательное обогащение по правилам ст. 1102 ГК РФ.