Добрый вечер!
Если муж платит ежемесячно по 4000 руб. в счёт алиментов, то лишить его родительских прав будет очень трудно.
Можно сказать практически невозможно.
На алименты Вы не подавали в суд, как я понимаю.
Закон устанавливает следующие основания для лишения родительских прав(ст.62 СК РФ):
Родители (один из них) могут быть лишены родительских прав, если они:
уклоняются от выполнения обязанностей родителей, в том числе при злостном уклонении от уплаты алиментов;
отказываются без уважительных причин взять своего ребенка из родильного дома (отделения) либо из иной медицинской организации, образовательной организации, организации социального обслуживания или из аналогичных организаций;
злоупотребляют своими родительскими правами;
жестоко обращаются с детьми, в том числе осуществляют физическое или психическое насилие над ними, покушаются на их половую неприкосновенность;
являются больными хроническим алкоголизмом или наркоманией;
совершили умышленное преступление против жизни или здоровья своих детей, другого родителя детей, супруга, в том числе не являющегося родителем детей, либо против жизни или здоровья иного члена семьи.
Если ничего из этого в Вашем случае нет и документально это не зафиксировано (протоколы, постановления полиции/суда/иных органов, объяснения свидетелей, фото, видео и т.д.), то сразу лишить его родительских прав не получится.
Единственный шанс — обратиться к юристу и подать несколько раз в суд.
Первый раз откажут, второй и если он в дальнейшем всё также не будет принимать участия в жизни ребёнка, ВОЗМОЖНО, суд решиться на крайние меры и лишит его прав.
Ситуация крайне сложная для Вас.