Должен ли арендадатель жилья платить налог 13% если мы сняли у него жильё с договором на 11 месяцев?

Срок договора аренды не имеет значения.

Согласно пп.4 п.1 ст. 208 и ст. 209 Налогового кодекса РФ объектом налогообложения признаются доходы, полученные от сдачи в аренду имущества. Важен сам факт получения дохода.

Но учитывая, что о существовании договора аренды заключенного сроком на 11 месяцев знает только арендодатель и арендатор (так как договор аренды заключенный сроком до 1 года не проходит процедуру государственной регистрации) заставить арендодателя заплатить налоги может только его честность либо заявление арендатора в компетентные органы.

В соответствии со ст. 228 НК РФ физические лица, получающие доходы от сдачи имущества в аренду, самостоятельно исчисляют сумму налога, подлежащую уплате в соответствующий бюджет, в порядке, установленном ст. 225 НК РФ.Не позднее 30 апреля года по форме 3 НДФЛ в размере 13 % с прописанной в договоре сумме. 

Договор на 11 месяцев заключается для того чтобы избежать его обязательной регистрации.