Чтобы мне стать айтишником (оформиться в компанию), мне надо иметь военный билет

Здравствуйте! В силу статьи 10 Федерального закона от 28.03.1998 N 53-ФЗ  «О воинской обязанности и военной службе» 

1. В целях обеспечения воинского учета граждане обязаны:

состоять на воинском учете в военном комиссариате в соответствии с абзацами первым и третьим пункта 2 статьи 8 настоящего Федерального закона, а граждане, имеющие воинские звания офицеров и пребывающие в запасе Службы внешней разведки Российской Федерации и в запасе Федеральной службы безопасности Российской Федерации, — в указанных органах;

Поэтому, в любом случаи у Вас должен быть военный билет, другой вопрос причины по которым это сделано не было. Вам в любом случаи для соблюдения закона нужно обращаться в военкомат и приводить документы в порядок.

И вот вопрос, что лучше: быть айтишником, но засветиться в военкомате, или ничего не делать.

Это Вы делаете на свой страх и риск. В любом случаи Ваш работодатель правильно говорит о необходимости воинского учета, так требует закон.