Вопрос: нужно ли вносить измения о смене фио отца и менять фио ребенка с свидетельстве и рождении?

Да в свидетельстве о рождении ребенка папа после изменения ФИО, уже должен быть записан по другому.

Закон Об актах гражданского состояния от 1997 г. 

 Статья 63. Изменения записей актов гражданского состояния в связи с переменой имени

1. На основании записи акта о перемене имени вносятся изменения в записи актов гражданского состояния, ранее составленные в отношении лица, переменившего имя, и выдаются новые свидетельства о государственной регистрации актов гражданского состояния с учетом внесенных в записи актов гражданского состояния изменений.
2. При перемене имени родителями изменяются сведения о родителях в записи акта о рождении ребенка, не достигшего совершеннолетия.
В записи акта о рождении ребенка, достигшего совершеннолетия, сведения о его родителях изменяются по заявлению данного лица в порядке, установленном настоящим Федеральным законом для внесения исправлений и изменений в записи актов гражданского состояния.
3. При перемене фамилии обоими родителями и имени отцом изменяются фамилия и отчество ребенка, не достигшего возраста четырнадцати лет, в записи акта о его рождении.

Добрый день !

хочу начать с того, что вы имеете полное право изменить ФИО. 

ГК РФ Статья 19. Имя гражданина
 

 
1. Гражданин приобретает и осуществляет права и обязанности под своим именем, включающим фамилию и собственно имя, а также отчество, если иное не вытекает из закона или национального обычая.

 
В случаях и в порядке, предусмотренных законом, гражданин может использовать псевдоним (вымышленное имя).

 
2. Гражданин вправе переменить свое имя в порядке, установленном законом. Перемена гражданином имени не является основанием для прекращения или изменения его прав и обязанностей, приобретенных под прежним именем.

 
Гражданин обязан принимать необходимые меры для уведомления своих должников и кредиторов о перемене своего имени и несет риск последствий, вызванных отсутствием у этих лиц сведений о перемене его имени.

 
Гражданин, переменивший имя, вправе требовать внесения за свой счет соответствующих изменений в документы, оформленные на его прежнее имя.

 
3. Имя, полученное гражданином при рождении, а также перемена имени подлежат регистрации в порядке, установленном для регистрации актов гражданского состояния.

Если ребенок не достиг 14 летнего возраста эта процедура делается  Через Записи актов Гражданского Состояния, для этого нужно получить согласия органов опеки и попечительства.

Федеральный закон от 15.11.1997 N 143-ФЗ (ред. от 14.07.2022) «Об актах гражданского состояния»
 
Статья 63. Изменения записей актов гражданского состояния в связи с переменой имени
 

 
1. На основании записи акта о перемене имени вносятся изменения в записи актов гражданского состояния, ранее составленные в отношении лица, переменившего имя, и выдаются новые свидетельства о государственной регистрации актов гражданского состояния с учетом внесенных в записи актов гражданского состояния изменений.

 
В случае, если перемена имени произведена органом записи актов гражданского состояния в отношении гражданина Российской Федерации, иностранного гражданина или лица без гражданства на территории Российской Федерации, изменения в записи актов гражданского состояния, составленные в отношении таких лиц компетентным органом иностранного государства с соблюдением законодательства иностранного государства, не вносятся.

 
2. При перемене имени родителями изменяются сведения о родителях в записи акта о рождении ребенка, не достигшего совершеннолетия.

 
В записи акта о рождении ребенка, достигшего совершеннолетия, сведения о его родителях изменяются по заявлению данного лица в порядке, установленном настоящим Федеральным законом для внесения исправлений и изменений в записи актов гражданского состояния.

 
3. При перемене фамилии обоими родителями и имени отцом изменяются фамилия и отчество ребенка, не достигшего возраста четырнадцати лет, в записи акта о его рождении.

 
При перемене фамилии одним из родителей фамилия их ребенка, не достигшего возраста четырнадцати лет, может быть изменена по соглашению родителей, а при отсутствии соглашения по указанию органа опеки и попечительства.

 
Изменение фамилии и отчества ребенка, достигшего совершеннолетия, в связи с переменой фамилии его родителями и имени отцом производится в порядке, установленном настоящим Федеральным законом для государственной регистрации перемены имени.

 
4. На основании внесенных изменений в запись акта о рождении ребенка, не достигшего совершеннолетия, выдается новое свидетельство о его рождении.

Прошу ознакомиться со статьями данного закона 

Статья 58. Перемена имени
Статья 59. Заявление о перемене имени
Статья 60. Порядок государственной регистрации перемены имени
Статья 61. Содержание записи акта о перемене имени
Статья 62. Свидетельство о перемене имени