Здравствуйте, Тамара!
Организации обязаны проводить все мероприятия по воинскому учету вне зависимости от количества работников. Только если совсем нет военнообязанных его можно не вести.
Отдельного работник для этого нанимать не обязательно, можно поручить эту работу кому-то по совместительству, либо воспользоваться услугами организации (ИП), которая предоставляет аутсорсинговые услуги, чтобы Вам готовили все необходимые документы, а Вашему руководителю только оставалась бы их подписывать и сдавать в военкомат.
Если у Вас еще остались вопросы, Вы можете задать их мне в рамках индивидуальной платной консультации в чате (стоимость и время консультации согласовываются там же).