Потом мне пришло извещение о том что по регистрации в Московской области нужно встать на воинский учёт

Здравствуйте.

Я же могу игнорируя извещение о том что в Московской области надо явиться в определённый срок для постоновки на учёт, просто зарегистрироваться в паспорте по новому месту жительства и встать на воинский учёт в другом регионе ?

Да, можете. В соответствии со ст.10 ФЗ от 28.03.1998 N 53-ФЗ (ред. от 30.12.2021) «О воинской обязанности и военной службе» вы обязаны явиться в двухнедельный срок в военный комиссариат для постановки на воинский учет, снятия с воинского учета и внесения изменений в документы воинского учета при переезде на новое место жительства и (или) место пребывания, в том числе не подтвержденные регистрацией по месту жительства и (или) месту пребывания, либо выезде из Российской Федерации на срок более шести месяцев или въезде в Российскую Федерацию.

Не буду ли я привлечён к административной ответственности за то что не встал на учёт по месту службы? 

Нет, если вы переехали в другой регион, то должны встать на учет именно по месту жительства. Регистрация в данном случае значения не имеет.