Какие документы нужны для этого?

Добрый день, Алина! Отвечаю по порядку, так как в вашем вопросе несколько вопросов содержится.

Местом жительства несовершеннолетних, не достигших 14 лет, или граждан, находящихся под опекой, признается место жительства их законных представителей — родителей, усыновителей или опекунов (ст.20 ГК РФ).
Регистрация по месту жительства несовершеннолетних граждан, не достигших 14-летнего возраста и проживающих вместе с законными представителями (родителями, усыновителями, опекунами), осуществляется на основании заявления установленной формы о регистрации по месту жительства, документов, удостоверяющих личность законных представителей (родителей, усыновителей, опекунов), или документов, подтверждающих установление опеки, и свидетельства о рождении этих несовершеннолетних (ст.28 Правил регистрации и снятия граждан Российской Федерации с регистрационного учета по месту пребывания и по месту жительства в пределах Российской Федерации).

Действующим законодательством России не предусмотрено обязанности получения согласия второго родителя на регистрацию ребенка по месту жительства с другим родителем. Если между родителями имеется спор по этому поводу -второй родитель вправе обратиться в суд за установлением места проживания ребенка совместно с ним. Соответственно, в дальнейшем регистрация ребенка по месту жительства будет соответствовать содержанию решения суда.

Что касается регистрации по месту пребывания (временной прописки) в квартире, занимаемой по договору аренды: для такой регистрации потребуется согласие арендодателя. Потому следует заранее согласовать этот момент с собственником помещения.

По поводу сохранения регистрации по месту жительства в проданном помещении: следует учитывать, что после продажи помещения новые собственники вправе обратиться в суд и внять вас с регистрационного учета по данному адресу в судебном порядке (в связи с продажей помещения и утратой права пользования помещением.)

Здравствуйте!

Да, вы можете оформить временную регистрацию по месту пребывания на основании договора найма, но нужно чтобы такое согласие дали собственники квартиры.

Согласие супруга не требуется

Здравствуйте, Алина. Вами заказано мнение 3х юристов выскажу свое видение вашей ситуаци:

По условиям договора купли-продажи квартиры мать и ребёнок должны выписаться из помещения в установленный срок.

вы можете нарушить этот срок, тогда у покупателя возникнет право обратиться к вам с требованием в судебном порядке о признании вас и ребенка утратившими право пользования жилым помещением. Согласно ГК РФ Статья 209. Содержание права собственности 

1. Собственнику принадлежат права владения, пользования и распоряжения своим имуществом.

 В этом случае решение этого вопроса с учетом срока на апелляцию в среднем займет около 6 месяцев. Все это время бы будете зарегистрированы в проданной квартире.

В новом регионе в настоящее время строится дом(будет готов к заселению в течение 4 месяцев). Семья пока проживает в съёмной квартире.

у вас заключен договор аренды? Если собственник  не возражает, он может зарегистрировать вас с ребенком временно в этом жилье. 

Подскажите, пожалуйста, возможно ли оформить временную регистрацию по месту пребывания на основании договора аренды жилого помещения сроком на полгода или год, и после этого выписаться с места постоянной регистрации в старом регионе в проданной квартире?

временную регистрацию с согласия собственника арендуемой квартиры, да, можно оформить, имея постоянную в другом регионе.

Нужно ли письменное разрешение от отца(он в курсе и не против, но получать от него разрешение проблематично — живет сейчас слишком далеко)?

Какие документы нужны для этого?

на временную регистрацию ребенка не нужно согласие отца, 

Постановление Правительства РФ от 17.07.1995 N 713  «Об утверждении Правил регистрации и снятия граждан Российской Федерации с регистрационного учета по месту пребывания и по месту жительства в пределах Российской Федерации и...II. Регистрация граждан по месту пребывания - 10. Регистрация граждан по месту пребывания в жилых помещениях, не являющихся местом их жительства, осуществляется на срок, определенный по взаимному соглашению:

с собственниками жилых помещений;

а так же

15. Регистрация граждан по месту пребывания осуществляется без их снятия с регистрационного учета по месту жительства.

документы для временной регистрации: паспорт ваш, собственника, свид-во о рождении ребенка( если старше 14 лет, то паспорт), заявление собственника, егрн на квартиру.

 А можем ли мы после оформления регистрации по месту пребывания самостоятельно выписаться со старой квартиры?

можете, так же можно это сделать одновременно с регистрацией в арендуемой квартире.

Для информации так же прикрепляю ссылку вам, где можете почитать информацию по вашему вопросу  так же https://www.gosuslugi.ru/situa...