Можно и как-то с согласия родителя оставить ребенка проживать с бабушкой?

Приветствую Вас, Ольга!

Можно и как-то с согласия родителя оставить ребенка проживать с бабушкой?

В соответствии со ст. 64 Семейного кодекса Российской Федерации от 29.12.1995 N 223-ФЗ

1. Защита прав и интересов детей возлагается на их родителей.
Родители являются законными представителями своих детей и выступают в защиту их прав и интересов в отношениях с любыми физическими и юридическими лицами, в том числе в судах, без специальных полномочий.

http://www.consultant.ru/document/cons_doc_LAW_8982/2236d37faf59dafdc4b2bc53c6b05841fe616ee9/

Оформить опекунство? Или какие ещё варианты есть?

Бабушка не являются законным представителем ребенка. Исключением является оформление опеки (попечительства). Бабушка будет являться законным представителем ребенка в случае отсутствия у него отца либо матери, при наличии соответствующих документов. Опека устанавливаться по личному заявлению в уполномоченный орган либо на основании решения суда.
Порядок ее установления регламентируется статьями с 31 по 41 Семейного Кодекса Российской Федерации.

Здравствуйте.

Место жительство несовершеннолетнего является место жительство его законных представителей (родителей). 

В вашей ситуации родители могут могут подать заявление на установлении временной опеки на период, когда родитель не может осуществлять свои обязанности по уважительной причине.

Ст. 13 Федеральный закон от 24.04.2008 N 48-ФЗ «Об опеке и попечительстве»

1. Родители могут подать в орган опеки и попечительства совместное заявление о назначении их ребенку опекуна или попечителя на период, когда по уважительным причинам они не смогут исполнять свои родительские обязанности, с указанием конкретного лица. В акте органа опеки и попечительства о назначении опекуна или попечителя по заявлению родителей должен быть указан срок действия полномочий опекуна или попечителя.