Как правильно поступить отцу и сыну, чтобы не потерять эту квартиру?

Если вы прописаны вдвоем вы её не потеряете. Можно приватизировать квартиру, но с долгом по ЖКУ это сделать сложно. 

Здравствуйте, Станислав!

Если договор социального найма был оформлен на маму, то нужно его переоформить.

«Жилищный кодекс Российской Федерации» от 29.12.2004 N 188-ФЗ

ЖК РФ Статья 82. Изменение договора социального найма жилого помещения

2. Дееспособный член семьи нанимателя с согласия остальных членов своей семьи и наймодателя вправе требовать признания себя нанимателем по ранее заключенному договору социального найма вместо первоначального нанимателя. Такое же право принадлежит в случае смерти нанимателя любому дееспособному члену семьи умершего нанимателя.