Добрый вечер, Екатерина!
1. Есть возможность в такой ситуации бороться за право собственности на часть квартиры. Для этого должны быть основания, предусмотренный ст. 37 СК РФ (значительные улучшения квартиры в период брака за счет супругов, либо одного из них: проведение капитального ремонта, реконструкции и др.). При наличии таких оснований можно просить суд признать право совместной собственности на это имущество с последующим разделом, выделением доли и т.д.
2. Вопрос проживания в квартире мужа после развода практически бесперспективный.
Да, нормами ЖК РФ (ст. 31) предусмотрена возможность назначения судом срока для дальнейшего проживания одного из супругов на жилой площади, принадлежащей другому супругу. Однако это право заканчивается как только супруг совершает отчуждение своей собственности в пользу третьего лица. (ч. 5 ст. 31 ЖК РФ)
Таким образом, если Вы не сможете претендовать на право собственности на часть квартиры в соответствии со ст. 37 СК РФ - готовьтесь к худшему и ищите жилье.
С уважением, Евгений