Здравствуйте, Александр!
Вам необходимо обратится в ЗАГС, где было выдано свидетельство о рождении с просьбой выдать свидетельство взамен утерянного.
ст.9 Федерального закона «Об актах гражданского состояния» от 15.11.1997 N 143-ФЗ
1. В случае утраты, порчи, в других случаях отсутствия возможности использования свидетельства о государственной регистрации акта гражданского состояния, в том числе ветхости бланка свидетельства, нечитаемости текста и (или) печати органа записи актов гражданского состояния, ламинирования, орган записи актов гражданского состояния, в котором хранится первый экземпляр записи акта гражданского состояния, выдает повторное свидетельство о государственной регистрации акта гражданского состояния, а в случаях, предусмотренных настоящим Федеральным законом, другими федеральными законами, иной документ, подтверждающий факт государственной регистрации акта гражданского состояния.
Поэтому ответ-да, можете.