Как добиться возможности встреч с сыном, если отцовство установлено и его мать в другом городе?

Здравствуйте. Для начала вам необходимо установить отцовство. Делается это либо через органы ЗАГС-а, либо в судебном порядке. 

СК РФ Статья 49. Установление отцовства в судебном порядке.
В случае рождения ребенка у родителей, не состоящих в браке между собой, и при отсутствии совместного заявления родителей или заявления отца ребенка происхождение ребенка от конкретного лица (отцовство) устанавливается в судебном порядке по заявлению одного из родителей, опекуна (попечителя) ребенка или по заявлению лица, на иждивении которого находится ребенок, а также по заявлению самого ребенка по достижении им совершеннолетия. При этом суд принимает во внимание любые доказательства, с достоверностью подтверждающие происхождение ребенка от конкретного лица. 

Предоставьте результат ДНК-экспертизы в качестве доказательства.
Если же отцовство установлено, вам необходимо обратиться в суд с иском об определении порядка общения с ребенком. Суд установит удобные для вас и матери ребенка время и место общения с ребенком.
Если нужна будет помощь в составлении искового заявления, представительства в суде, либо возникнут дополнительные вопросы, обращайтесь в личные сообщения.

Здравствуйте,

Ваши родительские права возникнут с момента установления отцовства. Установить его можно через суд или через ЗАГС. Вопрос алиментов можно решить соглашением или через суд. Аналогично и с общением — его порядок определяется соглашением или через суд, посмотрите статью 66 Семейного кодекса.

В какой стадии находится судебный процесс вы можете уточнить в суде (на сайте или по телефону). Участвовать в заседаниях вы можете посредством видеосвязи или через представителя

Обращайтесь, если у вас есть вопросы, буду рад помочь

С уважением, Андрей Козырев