Помогает ли государство содержать ребёнка в этом случае?

Здравствуйте!

Исходя из условий Вашего вопроса Вы, действительно, имеете основание для подачи заявление в районный суд о лишении Вашего супруга родительских прав, так как в соответствии со ст. 69 СК РФ:

Родители (один из них) могут быть лишены родительских прав, если они:
уклоняются от выполнения обязанностей родителей, в том числе при злостном уклонении от уплаты алиментов;
отказываются без уважительных причин взять своего ребенка из родильного дома (отделения) либо из иной медицинской организации, образовательной организации, организации социального обслуживания или из аналогичных организаций;
(в ред. Федеральных законов от 24.04.2008 N 49-ФЗ, от 25.11.2013 N 317-ФЗ, от 28.11.2015 N 358-ФЗ, от 28.03.2017 N 39-ФЗ)

(см. текст в предыдущей редакции)

злоупотребляют своими родительскими правами;
жестоко обращаются с детьми, в том числе осуществляют физическое или психическое насилие над ними, покушаются на их половую неприкосновенность;
являются больными хроническим алкоголизмом или наркоманией;
совершили умышленное преступление против жизни или здоровья своих детей, другого родителя детей, супруга, в том числе не являющегося родителем детей, либо против жизни или здоровья иного члена семьи.

В данном случае, Вы можете ссылаться на п. 1 указанной статьи, а именно на то, что бывший супруг злостно уклоняется от уплаты алиментов. 

При этом, лишение родительских прав не снимает с бывшего упруга обязанности по содержанию ребенка, то есть, даже, будучи лишенным родительских прав он будет обязан выплачивать алименты.

Хочу уточнить, что какой-либо существенной поддержки от государства Вы при указанном варианте (лишения бывшего супруга родительских прав) от государства не получите, то есть Ваше материально положение в данном случае кардинально не поменяется.

Надеюсь, что смогла Вам помочь!