Здравствуйте, уважаемая Ольга!
Требование бывшего мужа к бывшей жене отказаться от взыскания алиментов неправомерно. У неё вообще нет права отказываться от алиментов на их общего ребёнка, т. е. фактически принимать решение за другого гражданина (пусть даже несовершеннолетнего). В подобных ситуациях, кстати, орган опеки вправе сам обращаться в суд с иском о взыскании алиментов. Вы, правда, написали, что у них двое детей. Вы имели в виду, что одного общего ребёнка воспитывает мать, а другого - отец? В таком уникальном случае, я полагаю, возможно нечто вроде зачёта встречных требований.
Что касается квартиры, то в Семейном кодексе РФ указано, что всё имущество, приобретённое в браке, по общему правилу делится поровну, если иное не предусмотрено брачным контрактом. И там же прямо уточняется, что не имеет значения, на кого оформлено то или иное имущество.