Биологический отец требует встреч с несовершеннолетней дочкой

Если он не вписан в свидетельство, то в данный момент он является никем и никаких прав в отношении ребёнка у него нет.

Однако, если он подаст в суд на установление отцовства, то может эти права приобрести

Нужно понимать, что у отца есть безусловное право на общение с ребёнком, если он не ограничен и не лишён родительских прав. Поэтому просто избавиться от него не получится

СК РФ Статья 61. Равенство прав и обязанностей родителей
 

1. Родители имеют равные права и несут равные обязанности в отношении своих детей (родительские права).

Можно ли отказаться от теста ДНК и от суда?

Нет, нельзя, если вы уклонитесь от проведения теста, суд может признать отцовство и без него. Поэтому в суд нужно являться и свою позицию отстаивать 

Что можно сделать чтобы он больше не вмешивался в нашу жизнь?

Попробуйте ему объяснить, что если он установить отцовство, то будет ещё много-много лет платить алименты, от чего он вряд ли придёт в восторг. Больше посоветовать особо нечего, поскольку отцовство — это биологический факт, оно не зависит от личных качеств и взаимоотношений отца и матери. Так что если он подаст на установление отцовство, то почти наверняка его установит. В таком случае, если на то будут основания, нужно будет добиваться лишения или ограничения его родительских прав

нет

его можно лишить родительских прав за то что он не появлялся эти 2 года и никак не помогал? хотя его просили 

Его нельзя пока ничего лишить, так как пока у него нет никаких родительских прав.  Нельзя лишить того чего нет

Что он может добиться в лучшем случае ?

Konstantin

В лучшем случае он может добиться признания отцовста  и определения порядка общения с ребенком на основании ст. 66 Семейного Кодекса РФ:

Если родители не могут прийти к соглашению, спор разрешается судом с участием органа опеки и попечительства по требованию родителей (одного из них). По требованию родителей (одного из них) в порядке, установленном гражданским процессуальным законодательством, суд с обязательным участием органа опеки и попечительства вправе определить порядок осуществления родительских прав на период до вступления в законную силу судебного решения.

Но и мать ребенка вправе будет в судебном порядке взыскать алименты на содержание ребенка.

Если в дальнейшем отец ребенка будет уклоняться от уплаты алиментов, не будет участвовать в воспитании ребенка, либо жестоко с ним обращаться, а также в иных случаях предусмотренных ст. 69 Семейного Кодекса РФ, то возможно будет в судебном порядке лишить его родительских прав:

Родители (один из них) могут быть лишены родительских прав, если они:
уклоняются от выполнения обязанностей родителей, в том числе при злостном уклонении от уплаты алиментов;
отказываются без уважительных причин взять своего ребенка из родильного дома (отделения) либо из иной медицинской организации, образовательной организации, организации социального обслуживания или из аналогичных организаций;
злоупотребляют своими родительскими правами;

жестоко обращаются с детьми, в том числе осуществляют физическое или психическое насилие над ними, покушаются на их половую неприкосновенность;
являются больными хроническим алкоголизмом или наркоманией;
совершили умышленное преступление против жизни или здоровья своих детей, другого родителя детей, супруга, в том числе не являющегося родителем детей, либо против жизни или здоровья иного члена семьи.

Что он может добиться в лучшем случае ?

Konstantin

Так же после установления отцовства, если вы не будете давать ему ребенка, у него есть право в суде установить порядок общения с ребенком (ст. 66 СК РФ)

2. Родители вправе заключить в письменной форме соглашение о порядке осуществления родительских прав родителем, проживающим отдельно от ребенка.
Если родители не могут прийти к соглашению, спор разрешается судом с участием органа опеки и попечительства по требованию родителей (одного из них). По требованию родителей (одного из них) в порядке, установленном гражданским процессуальным законодательством, суд с обязательным участием органа опеки и попечительства вправе определить порядок осуществления родительских прав на период до вступления в законную силу судебного решения.

В связи с тем, что ребенок еще мал, то в случае подачи от него заявления об установлении порядка общения нужно чтобы ваша девушка настаивала на встречах в ее присутствии. Так же будет учтен факт того, что отец с ребенком не встречался ранее, поэтому встречи должны быть короткими с учетом режима дня ребенка.