Могу ли я подписывать документы в данном случае?

Добрый день! Вы можете поступить несколькими способами: 

1. В случае, если у вас есть сотрудники вы можете делегировать право подписи сотруднику издав соответствующий приказ и выдав доверенность на подписание документов 

2. Вы можете выдать доверенность второму участнику на ведение хозяйственной деятельности с правом подписи

3. Вы можете общим собранием участников, сменить руководителя на время отпуска по уходу за ребенком. Тогда полномочия по подписанию возникнут у нового директора. 

Если же вы будет подписывать документы, при этом находиться официально в отпуске, есть риск возникновения вопросов со стороны ФНС.