Можно ли потребовать возместить ущерб за испорченную дверь при проведении интернета?

Уважаемая Людмила! В соответствии с положениями ст. 1064 Гражданского Кодекса РФ 

Вред, причиненный личности или имуществу гражданина, а также вред, причиненный имуществу юридического лица, подлежит возмещению в полном объеме лицом, причинившим вред.

Согласно ст. 1068 Гражданского Кодекса РФ 

Юридическое лицо либо гражданин возмещает вред, причиненный его работником при исполнении трудовых (служебных, должностных) обязанностей.
Применительно к правилам, предусмотренным настоящей главой, работниками признаются граждане, выполняющие работу на основании трудового договора (контракта), а также граждане, выполняющие работу по гражданско-правовому договору, если при этом они действовали или должны были действовать по заданию соответствующего юридического лица или гражданина и под его контролем за безопасным ведением работ.

Исходя из смысла положений закона Вы вправе предъявить требования о возмещении вреда, причиненного работником при прокладке интернет-кабеля к организации, с которой у соседки заключен договор. Для возмещения вреда Вам необходимо оценить размер ущерба и предъявить претензию организации о возмещении вреда, а в случае отказа от возмещения, обратиться в суд. Удачи Вам.