Можно ли в МЧС избежать увольнения по предельному возрасту, продлив контракт?

Здравствуйте, Владимир!

Продление контракта в вашем случае — это право, а не обязанность руководства (см. Федеральный закон от 23.05.2016 N 141-ФЗ «О службе в федеральной противопожарной службе Государственной противопожарной службы..):

Статья 90. Прекращение контракта по достижении предельного возраста пребывания на службе в федеральной противопожарной службе

3. С сотрудником федеральной противопожарной службы, достигшим предельного возраста пребывания на службе в федеральной противопожарной службе, имеющим положительную последнюю аттестацию и соответствующим требованиям к состоянию здоровья сотрудников в соответствии с заключением военно-врачебной комиссии, с его согласия и по его рапорту может заключаться новый контракт, но не более чем на пять лет после достижения предельного возраста пребывания на службе в федеральной противопожарной службе.