Стоит ли беспокоиться из-за письма от конкурентов, если мы частично скопировали их сайт?

Авторские права не распространяются на идеи, концепции, принципы, методы, процессы, системы, способы, решения технических, организационных или иных задач, открытия, факты, языки программирования, геологическую информацию о недрах (п.5 ст. 1259 ГК РФ). Так что если Вы решили открыть свое риэлторское агентство, и на своем сайте продвигать свои услуги — Вам это никто делать не может запретить.

Нельзя копировать чужой дизайн (я не специалист, но он у нам меня не производит впечатление схожего), чужие произведения (вы говорите ничего такого нет), мимикрировать под чужой брэнд или использовать при продвижении собственного бизнеса чужой товарный знак (у вас совершенно другой логотип и название агентства). 

из-за схожего дизайна эти сайты могут быть аффилированы в поисковой системе Яндекс.

я конечно не специалист в SEO, но даже для неспециалиста — это очень странное и спорное утверждение на мой взгляд. Поисковая система индексирует не дизайн, а конкретные объекты (слова, текст, картинки и т.п.)

Добрый день, уважаемая Анастасия!

После получения претензии от Вашего конкурента, у Вас есть 30 дней на принятие соответствующего решения (выполнение/отказ от выполнения предъявленных к Вам требований) и предоставления ответа. По истечении данного срока, данная компания имеет право обратиться в суд за защитой своих прав в случае, если Вы отказались от выполнения их требований либо не предоставили в указанный срок ответ на их претензию.
Если данная компания обратиться в суд, ей необходимо будет представить суду доказательства того, что именно ей принадлежат авторские права по данному сайту. К объектам авторского права в данной области можно отнести доменное имя, типографические элементы, базы данных, контент (текст, фото, видео), дизайн страниц. Как видите, к таким объектам относится результат творческой деятельности.
Согласно законодательства, по общему правилу за нарушение исключительного права на произведение правообладатель наряду с применением других мер (признание права, пресечения незаконных действий и т. д.) могут требовать, чтобы нарушитель либо возместил причиненные убытки, либо выплатил компенсацию:
— в размере от 10 тыс. до 5 млн руб.;
— в двукратном размере стоимости экземпляров произведения;
 — в двукратном размере стоимости права использования произведения исходя из цены, которая обычно взимается за правомерное использование произведения при аналогичных обстоятельствах.
Решение суда будет зависеть от того, сможет ли истец доказать наличие у него исключительных авторских прав, аргументировать и доказать нарушение таких прав с Вашей стороны.