Возможна ли работа в государственном учреждении без военного билета?

Добрый день.

Можете, но только в любом случае Вам необходимо получить и предоставить в отдел кадров военный билет, подтверждающий освобождения от прохождения военной службы на законных основаниях.

Ограничения по допуску к государственной гражданской службы касаются лиц, не проходивших военную службу по призыву не имея на то законных оснований, что прямо указано в ст. 16 ФЗ 

от 27.07.2004 N 79-ФЗ
«О государственной гражданской службе Российской Федерации»

1. Гражданин не может быть принят на гражданскую службу, а гражданский служащий не может находится на гражданской службе в случае:
11) признания его не прошедшим военную службу по призыву, не имея на то законных оснований, в соответствии с заключением призывной комиссии (за исключением граждан, прошедших военную службу по контракту);