Может ли взыскатель повлиять на очередность взысканий по исполнительным листам?

Здравствуйте, нет, если вы в одной очереди кредиторов, то не получится.

Федеральный закон от 02.10.2007 N 229-ФЗ (ред. от 28.12.2016) «Об исполнительном производстве»Статья 111. Очередность удовлетворения требований взыскателей
1. В случае, когда взысканная с должника денежная сумма недостаточна для удовлетворения в полном объеме требований, содержащихся в исполнительных документах, указанная сумма распределяется между взыскателями, предъявившими на день распределения соответствующей денежной суммы исполнительные документы, в следующей очередности:
1) в первую очередь удовлетворяются требования по взысканию алиментов, возмещению вреда, причиненного здоровью, возмещению вреда в связи со смертью кормильца, возмещению ущерба, причиненного преступлением, а также требования о компенсации морального вреда;
(в ред. Федерального закона от 17.12.2009 N 325-ФЗ)
(см. текст в предыдущей редакции)
2) во вторую очередь удовлетворяются требования по выплате выходных пособий и оплате труда лиц, работающих (работавших) по трудовому договору, а также по выплате вознаграждений авторам результатов интеллектуальной деятельности;
3) в третью очередь удовлетворяются требования по обязательным платежам в бюджет и во внебюджетные фонды;
4) в четвертую очередь удовлетворяются все остальные требования.
2. При распределении каждой взысканной с должника денежной суммы требования каждой последующей очереди удовлетворяются после удовлетворения требований предыдущей очереди в полном объеме.
3. Если взысканная с должника денежная сумма недостаточна для удовлетворения требований одной очереди в полном объеме, то они удовлетворяются пропорционально причитающейся каждому взыскателю сумме, указанной в исполнительном документе.
4. В случае исполнения требований, содержащихся в исполнительных документах, банком или иной кредитной организацией очередность списания денежных средств со счетов должника определяется статьей 855 Гражданского кодекса Российской Федерации.