Могут ли поставить запрет на выезд не гражданину РФ?

Александр!

В Вашем случае налицо злостное нарушение правил пребывания ин. граждан в РФ и при выезде из РФ этот факт обязательно выяснится. В соответствии с ч. 1.1 ст.18.8 Кодекса в Российской Федерации об административных правонарушениях от 30.12.2001 № 195-ФЗ

1.1. Нарушение иностранным гражданином или лицом без гражданства режима пребывания (проживания) в Российской Федерации, выразившееся в отсутствии документов, подтверждающих право на пребывание (проживание) в Российской Федерации, или в случае утраты таких документов в неподаче заявления об их утрате в соответствующий орган либо в уклонении от выезда из Российской Федерации по истечении определенного срока пребывания, если эти действия не содержат признаков уголовно наказуемого деяния, — влечет наложение административного штрафа в размере от двух тысяч до пяти тысяч рублейс административным выдворением за пределы Российской Федерации.

Нарушение, предусмотренное частью 1.1 настоящей статьи, совершенное в городе федерального значения Москве или Санкт-Петербурге
либо в Московской или Ленинградской области, — влечет наложение административного штрафа в размере от пяти тысяч до семи тысяч рублей с административным выдворением за пределы Российской Федерации.

То есть, к сожалению, у Вас в перспективе — выдворение за пределы РФ.