Здравствуйте, Татьяна!
Вы не совсем верно выразились, нельзя вступить в наследство на часть имущества (на квартиру). Вы полностью вступили в наследство после смерти супруга, тем самым приняли на себя обязательства по оплате его долгов.
В состав наследства входит не только имущество, денежные средства, но и долги наследодателя. Таким образом, законодательство защищает кредитора даже в случае смерти должника. Долги переходят по наследству, как и иное имущество наследодателя. Все имущественные права и обязанности включаются в состав наследственной массы. Исключение составляют лишь те обязательства, которые, как указано в Гражданском кодексе, «неразрывно связаны с личностью» наследодателя. Например, его право на алименты или любые выплаты, связанные с возмещением вреда, нанесенного жизни или здоровью.