Здравствуйте!
Если уже возбуждено исполнительное производство по обращению взыскания на квартиру, то избежать выселения можно только в случае Вашей договоренности с взыскателем (банком).
После продажи квартиры с торгов (или после передачи её приставом банку, если торги дважды не состоятся, и банк согласится принять квартиру на свой баланс) банк будет обращаться в суд с иском о Вашем выселении.
После вынесения решения суда о выселении и возбуждении соответствующего исполнительного производства Вы вправе будете обратиться в суд с заявлением о предоставлении отсрочки исполнения решения суда (отсрочки выселения) на основании статьи 203 Гражданского процессуального кодекса РФ, обосновывая необходимость отсрочки тем, что другого жилья нет и Вы принимаете меры к приобретению права на другое жилое помещение.