Даниил, здравствуйте.
Да, при повторном поступлении в другой вуз Вы утрачиваете право на отсрочку.
Согласно ст. 24 Федерального закона от 28.03.1998 N 53-ФЗ (ред. от 03.07.2016)
«О воинской обязанности и военной службе»
2. Право на отсрочку от призыва на военную службу имеют граждане:
а) обучающиеся по очной форме обучения в:
образовательных организациях и научных организациях по имеющим государственную аккредитацию:
программам бакалавриата, если указанные обучающиеся не имеют диплома бакалавра, диплома специалиста или диплома магистра, — в период освоения указанных образовательных программ, но не свыше установленных федеральными государственными образовательными стандартами, образовательными стандартами сроков получения высшего образования по программам бакалавриата;
программам специалитета, если указанные обучающиеся не имеют диплома бакалавра, диплома специалиста или диплома магистра, — в период освоения указанных образовательных программ, но не свыше установленных федеральными государственными образовательными стандартами, образовательными стандартами сроков получения высшего образования по программам специалитета;
программам магистратуры, если указанные обучающиеся не имеют диплома специалиста или диплома магистра и поступили на обучение по программам магистратуры в год получения высшего образования по программам бакалавриата, — в период освоения указанных образовательных программ, но не свыше установленных федеральными государственными образовательными стандартами, образовательными стандартами сроков получения высшего образования по программам магистратуры.
Предусмотренная настоящим подпунктом отсрочка от призыва на военную службу предоставляется гражданину только один раз
Заберут ли меня в армию весной, если я заберу документы зимой, или осенью, если я заберу документы после первого курса?
Даниил
Как только состоится приказ о Ваше отчислении соответственно Вы подлежите призыву на военную службу.