Как совершеннолетнему ребенку установить факт отцовства, при живых родителях?

Здравствуйте. Вам или вашим родителям надо подать заявление в суд об установлении отцовства.

СК РФ, Статья 49. Установление отцовства в судебном порядке
В случае рождения ребенка у родителей, не состоящих в браке между собой, и при отсутствии совместного заявления родителей или заявления отца ребенка (пункт 4 статьи 48 настоящего Кодекса) происхождение ребенка от конкретного лица (отцовство) устанавливается в судебном порядке по заявлению одного из родителей, опекуна (попечителя) ребенка или по заявлению лица, на иждивении которого находится ребенок, а также по заявлению самого ребенка по достижении им совершеннолетия. При этом суд принимает во внимание любые доказательства, с достоверностью подтверждающие происхождение ребенка от конкретного лица.

В суде отец подтвердит свое отцовство и суд примет решение, на основании которого в ЗАГСе измените запись о рождении и соответственно поменяете фамилию.