Может ли суд назначить принудительную психиатрическую экспертизу, если у женщины двое маленьких детей?

Может если признает это необходимым.

РОССИЙСКАЯ ФЕДЕРАЦИЯ
ЗАКОН
О ПСИХИАТРИЧЕСКОЙ ПОМОЩИ И ГАРАНТИЯХ ПРАВ ГРАЖДАНПРИ ЕЕ ОКАЗАНИИ
…
Статья 29. Основания для госпитализации в психиатрический стационар в недобровольном порядке
Лицо, страдающее психическим расстройством, может быть госпитализировано в психиатрический стационар без его согласия или без согласия его законного представителя до постановления судьи, если его обследование или лечение возможны только в стационарных условиях,
а психическое расстройство является тяжелым и обусловливает: а) его непосредственную опасность для себя или окружающих, или
б) его беспомощность, то есть неспособность самостоятельно удовлетворять основные жизненные потребности, или
в) существенный вред его здоровью вследствие ухудшения психического состояния, если лицо будет оставлено без психиатрической помощи
Поэтому Вам для начала необходимо обратиться к врачу психиатру. Самостоятельно Вы этого сделать не сможете

В силу ст.306 ГК РФ

Заявление
врача-психиатра о принудительном психиатрическом освидетельствовании
гражданина подается в суд по месту жительства гражданина. К заявлению
прилагаются мотивированное заключение врача-психиатра о необходимости
такого освидетельствования и другие имеющиеся материалы. В течение трех
дней со дня подачи заявления судья единолично рассматривает заявление о
принудительном психиатрическом освидетельствовании гражданина и
принимает решение о принудительном психиатрическом освидетельствовании
гражданина или об отказе в принудительном психиатрическом
освидетельствовании гражданина