На что имеет право военнослужащий, подписавший контракт после трех месяцев срочной службы?

Да отслужив 3 месяца солдат имеет право подписать контракт.

Статья 34. Заключение контракта о прохождении военной службы[Закон «О воинской обязанности и военной службе»] [Статья 34]
1. Контракт о прохождении военной службы вправе заключать:
военнослужащие, у которых заканчивается предыдущий контракт о прохождении военной службы;
военнослужащие, проходящие военную службу по призыву и получившие до призыва на военную службу высшее образование, а также военнослужащие, проходящие военную службу по призыву и прослужившие не менее трех месяцев;
граждане, пребывающие в запасе;
граждане мужского пола, не пребывающие в запасе и получившие высшее образование;
граждане женского пола, не пребывающие в запасе;
другие граждане в соответствии с нормативными правовыми актами Президента Российской Федерации.
Граждане, поступившие в военные профессиональные образовательные организации или военные образовательные организации высшего образования, заключают контракт о прохождении военной службы в соответствии с пунктом 2 статьи 35 настоящего Федерального закона.
Контракт о прохождении военной службы также вправе заключать иностранные граждане, законно находящиеся на территории Российской Федерации.

Права при этом он имеет те же, что и остальные контрактники.Все отказы командования может обжаловать в прокуратуру.