Начать стоит с местного ТСЖ или управляющей компании жилого дома — посоветоваться о выбранном участке, согласовать проект площадки и заручиться поддержкой. Возможно, вопрос удастся решить на местном уровне — управляющая организация выделит средства и огородит территорию. В любом случае, сотрудники жилконторы посоветуют, куда обратиться — к муниципальным властям или в районную администрацию.
В соответствии с Постановлением Правительства РФ от 03.12.2014 N 1300 (ред. от 30.04.2016) «Об утверждении перечня видов объектов, размещение которых может осуществляться на землях или земельных участках, находящихся в государственной или муниципальной собственности, без предоставления земельных участков и установления сервитутов» (пункт 27) «площадки для дрессировки собак, площадки для выгула собак, а также голубятни» входят в перечень объектов, для которых не требуется предоставление земельных участков.
Можете оформить обращение к муниципальным или районным властям в произвольной форме.