Со скольки лет можно самостоятельно путешествовать по России?

Путешествовать можно, конечно. Но чтобы уж точно не было никаких проблем, на таможне, например (если за границу едете), или в поезде при контроле, рекомендую, чтобы родители оформили у нотариуса согласие на ваше путешествие (чтобы указали, в какой регион или страну вы едете), а также чтобы было указание, что вы едете без сопровождения.

по общему правилу лица от 14 до 18 лет могут заключать договоры с согласия родителей. Для снятия жилья вряд ли на курорте станут требовать заключение договора, но если до этого дело дойдет, предложите свой паспорт и указанное выше согласие родителей, которое подтвердит их одобрение заключения такого договора.