Добрый вечер, Яна!
В Вашем случае это будет не аннулирование актовой записи в свидетельстве о рождении, а лишение родительских прав бывшего супруга.
Вам нужно подготовить исковое заявление в суд, в котором будет участвовать прокурор и органы опеки, которые будут выходить к Вам в адрес и фиксировать жилищно бытовые условия жизни ребенка.
К исковому заявлению лучше приложить: Характеристики с места работы второго супруга, характеристики с места учеты или детского сада вашего ребенка.
Основным показателем будет это факт желания усыновить Вашего ребенка вторым супругом, а биологический папа может пагубно влиять на ребенка, при этом ведет асоциальный образ жизни.
Могу помочь в составлении искового заявления в суд.