Что нам делать и может ли новый супруг претендовать на часть квартиры?

Артем, здравствуйте!

Есть трехкомнатная квартира.она не приватизирована.собственник моя мать…

Если квартира не приватизирована, то Ваша мама никак не может быть собственником.
Быстрее всего, она ответственный наниматель, так?

она решила снова выйти замуж и прописать в квартиру мужа… при этом меня жену и двоих детей попросила освободить жилплощадь… Что нам делать и может ли ещё новый супруг претендовать на часть квартиры?

Для того, чтобы кто-то мог претендовать на неприватизированную квартиру, её сначала нужно получить в собственность, т.е. пройти процедуру приватизации. Для приватизации необходимо согласие/отказ всех зарегистрированных жильцов. Если Вы выпишитесь, а Ваша мама зарегистрирует в квартире супруга, то они вдвоем смогут её приватизировать, и соответственно Вам квартира (доля в квартире) может перейти только в порядке наследования.

Если Вы откажетесь выписываться, то можете квартиру приватизировать в долях, в том числе и на Ваших детей и супругу.

Жилищное законодательство не позволяет ответственному нанимателю безосновательно выписывать из квартиры зарегистрированных в ней людей. Так что Вам, конечно, лучше не сниматься с регистрационного учета по юридическим соображениям. А вот что касается межличностных, то решать Вам.