Мы с парнем хотим подать заявление в ЗАГС, а у меня нет прописки, распишут ли нас, и примут заявление вообще?

Здравствуйте! Ситуация абсолютно рядовая и не является препятствием для создания семьи. Давайте разберем Ваш случай «под ключ», опираясь исключительно на актуальные нормы закона.

Во-первых, главное, что Вас должно успокоить: отсутствие штампов о прописке (регистрации по месту жительства) в паспорте или ее фактическое отсутствие не является законным основанием для отказа в приеме заявления или регистрации брака. Федеральный закон «Об актах гражданского состояния» (ст. 26)  и Семейный кодекс РФ не требуют предоставления свидетельства о регистрации по месту жительства. В заявлении указывается место жительства(то есть населенный пункт, где вы постоянно или преимущественно проживаете), но подтверждать это документально вы не обязаны.

Пошаговый алгоритм действий (идеальное решение):

Подготовка документов: Вам понадобятся только оригиналы паспортов (ваш и парня). Если кто-то из вас состоял в браке ранее — потребуется свидетельство о расторжении брака. Если есть несовершеннолетние дети от предыдущих браков — свидетельства о рождении (для отметки в паспорте гражданина РФ, но это не влияет на саму регистрацию). Квитанция об уплате госпошлины (3500 рублей, можно оплатить на месте терминалом или заранее).
Подача заявления:

Вариант А (проще): Через портал Госуслуги. Вы заполняете электронную форму, указывая свои паспортные данные и фактическое место жительства (населенный пункт). Сотрудники ЗАГСа увидят ваше заявление в системе. Приходить лично нужно будет только в назначенный день для регистрации, оригиналы паспортов принесете тогда же.
Вариант Б (классический): Лично в любом органе ЗАГС или МФЦ. Вы имеете право подать заявление в любой ЗАГС на территории РФ, не только по месту вашей прописки. Сотрудник при вас заполнит бланк, где продиктует все данные, включая графу «место жительства» — вы просто называете город, где живете, без подтверждения.
Назначение даты: По умолчанию регистрация производится через месяц, но при наличии уважительных причин (беременность, рождение ребенка и др.) срок могут сократить вплоть до дня подачи.
На что обратить внимание:
Главное — чтобы ваши паспорта были действительны на момент подачи. Если паспорт подлежит замене по возрасту (20 или 45 лет), его лучше обновить заранее.

 
Моя рекомендация как специалиста:
Чтобы гарантированно избежать даже малейших проблем с формулировками в заявлении (например, в части указания будущих фамилий или заполнения графы о национальности, если вы решите ее указать), я рекомендую подготовить проект заявления заранее. Также важно проверить паспорта на предмет скрытых дефектов (например, повреждение страниц), которые могут стать причиной отказа. Я предлагаю услугу по предварительной проверке документов и составлению идеального заявления — это стоит недорого, но избавляет от неожиданных отказов и потери времени в очередях. Кроме того, если у Вашего молодого человека есть иностранное гражданство или судимости (что тоже проверяется по базам), лучше провести предварительную правовую экспертизу, чтобы подача прошла гладко.

Если моя консультация оказалась Вам полезной, можете поддержать меня по ссылке: pravoved.ru/lawyer/4310577/
Если остались вопросы или появились новые — пишите в личные сообщения для более развернутой консультации и составления НЕОБХОДИМЫХ ДОКУМЕНТОВ!

С уважением, Дмитрий Филимонов!