И можно ли вступить в таком случае в наследство по истечении шести месяцев?

Здравствуйте!

Да, безусловно считается. Это классический и самый надежный пример фактического принятия наследства.
Согласно пункту 2 статьи 1153 Гражданского кодекса РФ, наследник признается принявшим наследство, если он совершил действия, свидетельствующие о фактическом принятии. К таким действиям относятся:
Вступление во владение или управление наследственным имуществом.
Принятие мер по сохранению имущества.
Оплата за свой счет расходов на содержание наследственного имущества.
Совместное проживание и регистрация в квартире на день смерти наследодателя (отца) однозначно подтверждают, что сын вступил во владение имуществом (1/3 доли) и несет расходы по его содержанию (оплачивает коммунальные услуги за всю квартиру, включая долю отца).

Можно ли вступить в наследство по истечении шести месяцев?
Да, можно и нужно. Пропущенный шестимесячный срок в Вашем случае не является препятствием для оформления наследства, поскольку оно уже было принято фактически. Этот срок установлен для первоначального изъявления воли, а сын свою волю уже выразил действиями.
Что необходимо делать:
Сыну необходимо обратиться к нотариусу по последнему месту жительства отца и подать заявление о выдаче свидетельства о праве на наследство.
Нотариусу нужно будет предоставить документы, подтверждающие факт совместного проживания на момент смерти отца (например, выписку из домовой книги или справку о регистрации по форме №9). На основании этих документов нотариус установит факт принятия наследства и по истечении установленного законом срока выдаст свидетельство. После этого право собственности на 1/3 долю нужно будет зарегистрировать в Росреестре.

Пропуск срока для Вашей ситуации не критичен. Закон полностью на стороне сына. Ему необходимо просто обратиться к нотариусу, чтобы юридически оформить те права, которые он уже фактически принял.