Может ли моя мама претендовать на часть квартиры после смерти бабушки?

День добрый, Наталья.

Все зависит от того, оставляла ли бабушка завещание. Если оно есть, то читать надо его. Если его нет, то вступают в силу положения о закона — ст.1142 гражданского кодекса:

1. Наследниками первой очереди по закону являются дети, супруг и родители наследодателя.
2. Внуки наследодателя и их потомки наследуют по праву представления.

Право представления возникает если нет в живых наследника первой очереди (это не Ваш случай)

Но здесь возникает еще вопрос: вступала ли Ваша мама в свое время в права наследства (для этого должна была быть либо прописанной с бабушкой по одному адресу на момент смерти, либо написать соответствующее заявление). Где Вы сами были зарегистрированы на момент смерти бабушки? Вопросов в Вашей ситуации много. Их лучше обсуждать конкретно с конкретным нотариусом, который должен вести нотариальное дело (это нотариус, за которым закреплена территория по адресу, где умерла Ваша бабушка. Точную инфу можно узнать в нотариальной ПАЛАТЕ Вашей области). 

Что касается прописки Вашего младшего ребенка по адресу где Вы уже проживаете, по можете это сделать без проблем.

Ст.20 Гражданского кодекса  РФ - Местом жительства несовершеннолетних, не достигших четырнадцати лет, или граждан, находящихся под опекой, признается место жительства их законных представителей — родителей, усыновителей или опекунов