Может ли отец оформить на себя пособие на первого ребёнка из-за отсутствия прописки у матери?

Тамара!

В соответстви с разделом VI «Ежемесячное пособие по уходу за ребенком»  Приказа Минздравсоцразвития России от 23.12.2009 N 1012н «Об утверждении Порядка и условий назначения и выплаты государственных пособий гражданам, имеющим детей» (Зарегистрировано в Минюсте России 31.12.2009 N 15909):

39. Право на ежемесячное пособие по уходу за ребенком имеют:

а) матери либо отцы, другие родственники, опекуны, фактически осуществляющие уход за ребенком, подлежащие обязательному социальному страхованию на случай временной нетрудоспособности и в связи с материнством, в том числе матери либо отцы, другие родственники, опекуны, фактически осуществляющие уход за ребенком, из числа гражданского персонала воинских формирований Российской Федерации, находящихся на территориях иностранных государств, в случаях, предусмотренных международными договорами Российской Федерации, и находящиеся в отпуске по уходу за ребенком;

Это означает, что без оформления отпуска по уходу за ребенком, отец ребенка не сможет оформить пособие по уходу за ребенком до 1,5 лет.

Но, он может оформить неполный рабочий день по месту своей работы и уйти в отпуск по уходу за ребеноком. Тогда право на пособие у отца ребенка будет. Для оформления неполного рабочего в период нахождения в отпуске по уходу за ребенком отцу ребенка необходимо написать соответсвующее заявление в адрес работодателя.

С уважением, Кузьмина Дарья!

Можете однако, чтобы исключить вариант двойного получения пособия, дополнительно потребуется справка с места постоянной регистрации о неполучении пособия, а также: 

копии свидетельств о рождении всех детей;
выписка из трудовой книжки о последнем месте работы (для работающих матерей);
копия приказа о предоставлении отпуска по уходу за ребёнком;
справка о том, что отец ребёнка не получает это же пособие по месту своей прописки;
копия паспорта мамочки.