Каковы варианты установления отцовства, чтобы я мог претендовать на наследство?

Пока на данный момент до установления факта отцовства Вы не можете являться наследником Вашего отца. Так как Вы уже совершеннолетний, то Вы вправе самостоятельно подать иск об установлении отцовства. Суд, оценив все доказательства в суде, которыми могут быть свидетельские показания, фотографии, видеозаписи, процедура ДНК, если Ваш отец согласится. Если он не согласится на проведение экспертизы ДНК, то суд признает отказ одним из фактов, свидетельствующих об отцовстве предполагаемого отца.

В Вашем случае речь идёт не о признании отцовства, а об оспаривании отцовства, если у Вас в свидетельстве о рождении в качестве отца указано другое лицо.

Статья 52 СК РФ. Оспаривание отцовства (материнства)

1. Запись родителей в книге записей рождений, произведенная в соответствии с пунктами 1 и 2 статьи 51
настоящего Кодекса, может быть оспорена только в судебном порядке по требованию лица, записанного в качестве отца или матери ребенка, либо лица, фактически являющегося отцом или матерью ребенка, а также самого ребенка по достижении им совершеннолетия, опекуна (попечителя) ребенка, опекуна родителя, признанного судом недееспособным.

Однако вписать отцом своего реального биологиеского отца вы сможете только с его согласия.