Здравствуйте.
В соответствии со ст. 82 ЖК РФ.
Граждане, проживающие в одной квартире, пользующиеся в ней жилыми помещениями на основании отдельных договоров социального найма и объединившиеся в одну семью, вправе требовать заключения с кем-либо из них одного договора социального найма всех занимаемых ими жилых помещений.
Дееспособный член семьи нанимателя с согласия остальных членов своей семьи и наймодателя вправе требовать признания себя нанимателем по ранее заключенному договору социального найма вместо первоначального нанимателя. Такое же право принадлежит в случае смерти нанимателя любому дееспособному члену семьи умершего нанимателя.
Муниципальное жилье по наследству не переходит, только сын, прописанный в данной квартире имеет право переоформить договор социального найма на себя после смерти главного квартиросъемщика.
Если есть возможность, лучше приватизировать данную квартиру при жизни бабушки.
Надеюсь мой ответ вам помог.