Как правильно оформить наследство после смерти отца, по 1/2 доле на дочерей?

Добрый день! У меня умер папа, мама жива. У нее нас 2 детей. Я и сестра. Как правильно оформить документы, чтобы квартира досталась мне и сестре поровну?

После смерти папы еще не прошло 6 месяцев. Мама с сестрой пошли к нотариусу, она посоветовала оформить папину долю на сестру. Вопрос? почему они могут это сделать до 6 месяцев? И как мне оформить мамину долю на себя, чтобы сестра не могла в будущем претендовать на нее?