Можно ли исправить запись в трудовой за прогулы и получить полный расчет у работодателя обратившись в трудовую инспекцию?

Здравствуйте!

вопрос по ТК.Муж работал с апреля 2019г по август 2019г в организации небольшой ООО.. За это время не был выдан трудовой договор на руки, зарплата выплачивалась нерегулярно(мягко сказано:вообще дробями,когда и сколько захочет..),но на карту. Рабочий день порой были до ночи..вместо 8 часового рабочего дня..специальность рабочая.. Поскольку муж единственный кормилец(я в декрете и двое детей),то он брал отпуск за свой счет, а также один раз принес справку от кардиолога( что находился на дневном стационаре).чтобы хть как то подработать неофициально..справку честно говоря кардиолог написал ...по факту то имелась гипертония..но дневного стационара фактически не было..Просто муж наблюдается у врача ,состоит на учете после инфаркта и операции..поэтому пришел без записи даже на прием получил лечение и ушел домой..а точнее на подработки..

эту справку муж принес в июле месяце на фактическое место работы.через неделю предыдущий работодатель пригласил его на работу и он написал заявление на увольнение..директор принял заявление без регистрации..через неделю якобы не было заявления..вообщем по итогу еще 2 недели работал на работодателя фактически получив..около 2-3 тыс зарплаты. Когда через 2 недели поднял вопрос об увольнении директор потребовал отработать еще неделю. Тогда муж написал заявление на увольнение по почте заказным письмом с описью и уведомлением.Это в субботу..а в понедельник официально ушел на больничный с гипертонией и вышел на работу по договорному соглашению к предыдущему и новому работодателю. Тк мог потерять место..его итак практически месяц ждали..

Дак вот трудовую книжку ,трудовой договор,справку НДФЛ и еще какие то справки муж получил 05.09.19. В трудовой книжке запись "уволен за прогул ч6 подпункт 1 ст 81".30.08.19.

Расчета до сих пор нет, документы удерживали по непонятным причинам,да еще уволили по статье..якобы справка эта (за июль месяц) фальшивая узнали по звонку..хотя я узнавала в поликлинике что такие сведения они дают по запросу. В трудовом договоре значится 2 даты выплаты зарплаты(5е и 20е число) по окладу 25 тысяч. Не разу он не получал даже приближенно к этим числам ..суммы выплат дробились непонятно..да и по справке НДФЛ получается что работодатель должен около 30 тысяч..и это не последний месяц..и даже не предыдущий,тк он работал 2 месяца неполных( справка и больничный).притом больничный в августе неделя и 3 недели рабочих,а июль 2 недели рабочих,2 неоплачиваемых..а в справке сумма именно зп без больничного меньше в августе..равно как и в июле не соответствует отработанным двум неделям..те вместо грубо говоря 25 тыс:23 раб дня*10 фактически отработанных=10т869руб.это июль в справке значится 6 тысяч с чем то..то же самое с августом но намного меньше за 3 отработанных недели..

вообщем по закрытым рабочим дням у меня тоже сомнение что правильно..

извините что так длинно и запутанно..подскажите пожалуйста что можно сделать..возможно ли обратившись в трудовую инспекцию получить хть согласно справки положенный расчет..и заставить работодателя исправить запись в трудовой книжке? Честно говоря не знаю где и как проведена справка от врача от июля месяца и как это делается тоже..но ведь даже если работодатель расценил данную справку как прогул..значит увольнение должно же последовать сразу..не может он фактически не поставить трудодни в августе чтобы уволить по статье? работник никак не сможет доказать обратное?Что вообще можно сделать имея трудовой договор с четко прописанными числами зп и суммы оклада,также выписки с банка о поступивших суммах и трудовой книжкой от 30.08,но полученной 05.09,а также справки ндфл ,где легко доказать что даже согласно ей не доплачено около 30 тыс.?